Słoneczniki

(...) większość roślin ma liczbę płatków wziętą z szeregu 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89. Pogląd konwencjonalnych biologów jest taki, że geny kwiatów określają całą tę informację i że to wszystko. Jednak, chociaż organizmy żywe mają skomplikowane sekwencje DNA, które określają, z jakich białek są one zbudowane i tak dalej, nie wynika z tego, że geny determinują wszystko. A nawet jeżeli determinują, to czynią to tylko pośrednio.

Liczby pojawiające się u roślin – nie tylko liczby płatków, lecz także wszelkie rodzaje innych własności – ujawniają prawidłowości matematyczne. Tworzą one początek tak zwanego ciągu Fibonacciego, w którym każda liczba jest sumą dwóch poprzednich. Płatki wcale nie są jedynym miejscem, w którym znajdujemy liczby Fibonacciego. Gdy patrzymy na olbrzymi słonecznik, widzimy w jego tarczy kwiatowej godny uwagi wzór złożony z drobnych kwiatków, które ostatecznie stają się ziarnami. Kwiatki te są uporządkowane w dwie przecinające się rodziny spiral, jedną przebiegającą zgodnie z ruchem wskazówek zegara, a drugą – przeciwnie.

Gdy patrzymy na wierzchołek pędu rosnącej rośliny, wówczas możemy zauważyć elementy, z których rozwijają się wszystkie główne składniki rośliny – liście, płatki, działki kielicha, kwiatki i inne. W środku wierzchołka pędu znajduje się kolisty obszar tkanki pozbawionej specjalnej struktury, zwany stożkiem wzrostu (apex). Wokół wierzchołka, jeden za drugim powstają drobne grudki nazywane zawiązkami. Każdy zawiązek oddala się od wierzchołka, a dokładnie, wierzchołek wyrasta z zawiązka, który ostatecznie rozwija się w liść, płatek lub tym podobne. Ponadto, ogólne uporządkowanie tych składników rośliny jest ustalone na początku, gdy kształtują się zawiązki. Dlatego należy jedynie wyjaśnić, dlaczego u zawiązków widzimy spiralne kształty i liczby Fibonacciego.

Najistotniejszą własnością ilościową jest kąt pomiędzy kolejnymi zawiązkami. Wyobraźmy sobie linie rysowane ze środków kolejnych zawiązków do środka wierzchołka i kąt zawarty między nimi. Kolejne kąty są prawie jednakowe; ich wspólną wartość nazywa się kątem dywergencji (rozbieżności). Innymi słowy, zawiązki są równo rozmieszczone – w mierze kątowej – wzdłuż spirali generatywnej. Ponadto, kąt rozbieżności jest zwykle bliski 137,5°.

Stosunek kolejnych liczb Fibonacciego zbliża się do liczby 0,618034. Na przykład, 34/55 = 0,6182, co już jest dosyć bliskie granicy. Wartością graniczną jest dokładnie (√5 -l )/2, tak zwana złota liczba, często oznaczana grecką literą φ. Przyroda dała detektywom matematycznym wskazówkę: kąt między kolejnymi zawiązkami stanowi „złoty kąt” 360°(1 – φ)= 137,5°. W roku 1907 Van Iterson poszedł za tą wskazówką i wyliczył, co się stanie, gdy na ciasno zwiniętą spiralę naniesiemy punkty oddzielone o kąt 137,5°. Z powodu sposobu, w jaki ustawiają się sąsiednie punkty, oko ludzkie dostrzega dwie rodziny przenikających się spiral – jedną zakrzywiającą się zgodnie z ruchem wskazówek zegara, a drugą przeciwnie. A z powodu związku liczb Fibonacciego i złotej liczby, liczby spiral w obu rodzinach są kolejnymi liczbami Fibonacciego. Które to liczby, zależy od tego, jak ciasno zwija się spirala. Jak wyjaśnia to liczbę płatków? Zasadniczo na zewnętrznym krańcu każdej spirali w jednej z tych rodzin powstaje jeden płatek.

Douady i Couder znaleźli dynamiczne wyjaśnienie złotego kąta. Oparli swój pomysł na głębokim odkryciu H. Vogela z 1979 roku. Jego teoria jest znowu opisowa – koncentruje się na geometrii uporządkowania, a nie na dynamice, która jest jej przyczyną. Wykonał on eksperymenty liczbowe świadczące o tym, że jeżeli kolejne zawiązki układają się wzdłuż spirali generatywnej przy użyciu złotego kąta, to są one upakowane najbardziej efektywnie.

Najciekawszą rzeczą, jaką zrobili Douady i Couder, było otrzymanie złotego kąta jako konsekwencji prostej dynamiki, zamiast postulowania go na zasadzie maksymalnego upakowania. Założyli oni, że kolejne elementy pewnego typu – reprezentujące zawiązki – tworzą się w jednakowych odstępach czasu gdzieś na obwodzie małego koła przedstawiającego stożek wzrostu i że te elementy odsuwają się następnie promieniście z pewną ustaloną prędkością początkową. Na dodatek, przyjęli oni, że elementy te odpychają się wzajemnie, tak jak jednakowe ładunki elektryczne lub magnesy o tej samej polaryzacji. Dzięki temu radialny ruch stale zachodzi, a każdy nowy element pojawia się możliwie najdalej od swych najbliższych poprzedników. Można się założyć, że taki układ będzie spełniał kryterium Vogela skutecznego upakowania, dlatego powinniśmy oczekiwać, że złoty kąt pojawi się sam z siebie. I pojawia się.

Ian Stewart: Liczby natury. Przełożył Michał Tempczyk
Claude Monet: Bukiet słoneczników
Stanisław Wyspiański: Słoneczniki
Tadeusz Makowski: Słoneczniki
Gustave Caillebotte: Słoneczniki wzdłuż Sekwany
Antonio Sicurezza: Słoneczniki
Vincent van Gogh: Wazon z trzema słonecznikami
Willi Ulfig: Słoneczniki